L'estructura fractal dels oscil·ladors harmònics en la música: Concert d'any nou: JS.Bach. Concerts de Brandenburg.

L'anàlisi de l'estructura de diferents obres musicals ha demostrat que la selecció de les notes que han fet diferents compositors, en diferents èpoques, té alguns elements comuns. Tant si es tracta d'un dels Concerts de Brandenburg de Bach, del Quartet de cordes # 3 de Babbit, d'obres de piano de Scott Joplin, totes aquestes obres tenen la mateixa forma si es considera l'estructura en termes de freqüències. Explicarem això a continuació.

En l'anàlisi auditiu de diverses obres musicals una quantitat que s'ha estudiat és la potència d'àudio de la música. Aquesta quantitat és, en essència, l'energia que s'emet en forma d'ones sonores cada segon, quan s'executa l'obra musical. En analitzar com està estructurada aquesta quantitat, en termes de la freqüència, s'obté el que s'anomena el seu espectre.

Com depenen de la freqüència dels espectres de les diferents obres musicals?

Les anàlisis fets de diferents obres musicals han mostrat que els seus espectres depenen de la freqüència, que anomenarem amb la lletra f, com (1 / f). Si recordem el que es va analitzar en el capítol anterior veiem que aquest espectre és una llei de potència que, en el llenguatge matemàtic, depèn de la freqüència en forma inversa a la primera potència de f (ja que l'exponent de la f a (1 / f) és 1). Per tant, com ja va descriure, aquest espectre és autosimilar i en conseqüència, conté una estructura fractal.

Un espectre del tipus esmentat en el paràgraf anterior rep el nom d'espectre rosa.

Per què Bach i molts altres compositors van escollir l'espectre rosa? La realitat és que cap músic va sentir parlar mai d'aquestes idees, ni de bon tros les va escollir de manera deliberada. Per entendre el que passa explicarem com es faria música amb un altre tipus d'espectre.

Una manera seria com segueix: cada nota que s'escriu és tal que la seva posició i durada no depenen per a res de les notes anteriors ni de la seva durada. En aquest cas es diu que la composició és completament a l'atzar o estocàstica. Un exemple d'aquest tipus de música es presenta a la figura 33 (a). L'espectre de la potència d'àudio d'aquest tipus de música és el mateix per a qualsevol valor de la freqüència, el que significa que el valor de la potència és el mateix per a qualssevol valors de la freqüència, és a dir, que es tracta d'una quantitat constant. Matemàticament, l'espectre depèn de la freqüència (1 / f0), ja que f0 = 1. A un espectre d'aquest tipus se li crida blanc. Si es toqués aquest tipus de música en un instrument la sentiríem sense estructura; a més donaria la impressió que d'una nota a una altra sempre hi hauria una sorpresa.

Un altre tipus d'espectre, anant-se a l'altre extrem, és el que depèn de la freqüència (1 / f²), espectre anomenat brown o cafè, nom que se li va donar perquè està associat al moviment brownià que es va tractar en el capítol IV. A la figura 33 (b) es presenta música que té l'espectre cafè. En la música cada nota i la seva durada depenen en grau considerable de les notes anteriors. Per tant, la sensació que es té en escoltar-la és que després d'haver tocat unes notes les que segueixen són previsibles.

A la figura: (a) Exemple de música blanca. (B) Exemple de música cafè. (C) Exemple de música rosa.

La música que té espectre rosa, o sigui (1 / f), es troba, per així dir-ho, entre els casos de música a l'atzar (espectre blanc) i música determinista (espectre cafè). En aquest cas les notes i la durada no són ni molt previsibles ni molt sorprenents. Un exemple d'aquest tipus de música es mostra a la figura 33 (c).

Tornant a la pregunta que es va fer a dalt: ¿per què els compositors van usar efectivament espectres roses, o sigui una llei de potències (1 / f) per compondre la seva música ?, es pot afirmar que els compositors han intentat, i per cert molts ells aconseguit, compondre música interessant. La qüestió s'hauria de plantejar com segueix: ¿per què la música interessant té un espectre rosa? La resposta podria ser que la música amb aquest tipus d'espectre resulta ser ni molt previsible (espectre cafè) ni molt sorprenent (espectre blanc). El científic holandès Balthazaar van de Pol va afirmar en una ocasió que la música de Bach és grandiosa perquè és inevitable i alhora sorprenent, el que significa que el seu espectre és rosa.

A causa de que la música que té un espectre rosa és autosimilar, té estructura similar en diferents escales de freqüències. El que passa en una escala de freqüències ha d'ocórrer en qualsevol altra escala de freqüències. Si es gravés una composició d'aquest tipus en cinta magnètica a certa velocitat i es toqués a diferents velocitats, el que es sentiria seria similar al que gravat. Això contrasta amb el que passa amb la veu humana, ja que quan es toca un enregistrament a una velocitat, per exemple al doble del que s'hauria de fer, se sent molt cridanera. Una manera d'exhibir la autosimilitud és amb ajuda d'un aparell electrònic que generi sons de les freqüències que un desitja. Si es produeix un so que sigui la superposició de 2 notes, sent cada nota una octava (de freqüència doble) de l'anterior i es comença amb una nota de 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1 / seg), les següents 11 notes serien de freqüències:

20 = 2 x l0, 40 = 4 x10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 5l2 x l0, 10.240 = 1024 x 10 i

20.480 = 2.048 x 10, totes en unitats Hz.

Ara canviem cadascuna d'aquestes notes per altres que siguin de freqüències majors per un semitò (que correspon a la diferència entre dues notes successives d'un piano); la freqüència del semitò s'obté de la nota anterior multiplicant per 1.05946. Ara es tocarà el so que és la superposició de les freqüències següents:

10 x 1.0594 = 10.6, 20 x 1.05946 = 21.2,

40 x 1.05946 = 42.38, 80 x 1.05946 = 84.76,

160 x 1.05946 = 169.51, 320 x 1.05946 = 339.03,

640 x 1.05946 = 678.06, 1 280 x 1.05946 = 1356.11,

2560x 1.05946 = 2712.22, 5120 x 1.05946 = 5424.44,

10240 x 1.05946 = 10848.88 i 20480 x 1.05946 = 21697.74 Hz

Aquest so es sentir amb un to ms alt que l'anterior.

Si s'augmenta una altra vegada la freqüència de cadascuna de les notes en un semitò, la superposici dels nous sons produir un so de to encara ms alt. Si es repeteix 12 vegades el procés d'augmentar en un semitò cada un dels components del so, resulta que el so que es produeix és indistingible de l'original! questa és una demostraci musical de l'autosimilitud.

Addicionalment, si prenem com a referència els diagrames de temps / espectre no audible, tindrem que en els matisos> 20 Hz i superiors a 28.000 Hz, obtindrem un logaritme harmnic que s'expressa com una successi d'esdeveniments simples i dobles en els silencis:

La clau dels oscil·ladors harmnics est a la successi de silencis o cadenes de freqüències de l'espectre no audible.

La combinaci dels conceptes anteriors, dóna com a resultat aquesta meravella que els oferim per rebre el nou any 2011: